Home ➿➿…ĐƯỜNG THẲNG LÀ ĐƯỜNG NGẮN NHẤT” . NHƯNG CHƯA CHẮC LÀ...
Array

➿➿…ĐƯỜNG THẲNG LÀ ĐƯỜNG NGẮN NHẤT” . NHƯNG CHƯA CHẮC LÀ…

➿➿…ĐƯỜNG THẲNG LÀ ĐƯỜNG NGẮN NHẤT” . NHƯNG CHƯA CHẮC LÀ ĐƯỜNG HIỆU QỦA NHẤT

.

Năm 1696, nhà toán học người Thụy Sĩ Johann Bernoulli gửi lời thách thức đến người anh trai của mình Jacob Bernouilli cùng toàn thể giới toán học thời bấy giờ một đề bài được phát biểu dễ hiểu như sau:

  • “Nếu có một quả bóng lăn xuống từ một điểm trên cao đến một điểm thấp hơn thì hình dạng đường đi phải như thế nào để thời gian di chuyển là ngắn nhất?”

Thoạt trông, rất nhiều người bị ảnh hưởng mới câu nói “đường thẳng là đường ngắn nhất” sẽ nghĩ rằng đó đích thị là đường dốc thẳng. Thế nhưng, nếu đơn giản như thế thì giới toán gia đã không cần phải vò đầu bứt trán làm gì. Không phải lúc nào nhắm thẳng đến mục tiêu mới là hướng đi hiệu quả nhất, các nhà toán học đã sớm nhận ra điều này. Nhưng, nếu như vậy, đó sẽ là con đường nào đây?

Quả bóng tất nhiên tuột xuống theo trọng lực hấp dẫn, nhưng nếu dùng đường thẳng lại không được thời gian ngắn nhất. ta có thể theo một đường giây khác, chẳng hạn như đường giây vẽ ở phía trên, và nếu theo hình này thì lúc đầu vận tốc có thể chậm nhưng càng về sau càng nhanh. Phương pháp này có thể tiện lợi cho một cuộc đua giai sức, nhưng với bài toán này thì lời giải lại là đường cong vẽ ở phiá dưới trong . Đường cong này gọi là Cycloid, và ngoài hai anh em ông Bernouilli, những nhà toán học trứ danh đương thời như Newton, Leibniz, hầu tước Hospital đều có lời giải đúng.


Chính danh ra chỉ có những bài giải đáp của hai anh em ông Bernouilli được đăng ra trên báo vào tháng 5 năm 1697. Bài của John Bernouilli dễ đọc và hay diệu vời. Vào thời đó những môn tính vi phân và tích phân mới ở trình độ phôi thai nên những lời giải của những bài toán khó cần phải dựa vào những mánh lới đặc biệt. John thì nhận thức được rằng đường cong được dùng để trượt xuống một cách nhanh chóng cũng là đường của một tia sáng đi từ O tới A nhưng qua một lớp kính mỗi đợt có chiết xuất khác nhau. Nhờ đó mà ông tìm ra được đường Cycloid, cũng là qua định luật quang học. Bài giải của James Bernouilli thì quá phức tạp nhưng kỹ thuật dùng có tầm vóc rộng, có thể áp dụng vào những bài toán khác. Để kết thúc bài đăng này, ông anh James đã ra thêm một bài toán khó khăn hơn thuộc phạm vi toán biến thiên để mọi người cùng thẩm định tìm lời giải, và ông đặc biệt thêm rằng nếu John Bernouilli giải được thì ông thưởng cho năm mươi quan tiền. Sau đó hai anh em có nhiều cuộc tranh luận gay cấn và ngã ngũ ra ông anh James đăng bài giải đáp vào năm 1701 và cho rằng John đã không giải nổi. Hai bài giải toán của James Bernouilli đăng những năm 1697 và 1701 là những bài khởi đầu gây hứng khởi cho một nhà toán học Thụy Sĩ lừng danh khác là Leonhard Euler (1707-1783) và Euler đã là người đặt căn bản vững chãi đầu tiên cho Phép Tính Biến Thiên, đã có nhiều công dụng ích lợi trong những thế kỷ tiếp theo dùng để giải những bài toán có lời giải tối thiểu và đặc biệt để tính những qũy đạo hỏa tiễn cho đỡ tốn nhiên liệu.

Để kết luận đoạn này tôi cần thêm mấy tiểu truyện sau đây:

  • Vào năm 1705, sau khi James Bernoulli qua đời, người em John Bernouilli quay về tỉnh Basle là nơi sinh quán để nhận một chức giáo sư Toán và ở lại đây hơn bốn mươi năm cho đên khi mãn đời. Ông vẫn say mê với toán học nhưng không còn ai trong quyến thuộc ngang tài để tranh đua. Ông là thầy học của Euler.
  • Phương trình căn bản của Phép Tính Biến Thiên, dùng để tìm những lời giải có trị số tối thiểu, nay được gọi là phương trình của Euler và Lagrange. Gọi như vậy là vì Euler tìm ra phương trình khi khảo xát tính biến thiên. Phương trình này lại giống hệt phương trình của Lagrange khi tìm phương pháp tổng hợp giải tích của môn cơ học.
  • Muốn có hình ảnh của đường Cycloid, có thể gọi là đường vạch của vành bánh xe, thì ta gắn một điểm sáng vào vành xe đạp rồi lăn trong tối. Điểm sáng M sẽ vạch thành đường Cycloid . Muốn có đường giây tuột nhanh nhất thì quay lộn ngược đường Cycloid.

Đường Cycloid, dù trông theo chiều thuận tự nhiên , hay theo chiều lộn ngược dùng làm giây tuột, là một hình đặc biệt, được nhắc đến nhiều trong Toán học. Dĩ nhiên là ta đã có thể nhìn thấy lờ mờ hình ảnh của hình này từ khi loài người nghĩ ra bánh xe tròn, chẳng hạn như khi xưa, xe chở nặng gặp chỗ lầy, một xa phu nếu cầm vào vành bánh xe để quay vận chuyển thì chỗ tay nắm sẽ di động theo hình cycloid. Nhưng phải tới năm 1501 ta mới thấy hình này đuợc nhắc tới trong cuốn sách của Charles Bouvelles và tới thế kỷ 17 tính chất cơ hữu của hình mới được tìm ra khi các nhà toán và vật lý học đương thời như Galileo, Pascal, Toricelli, Descartes, Fermat, Huygens chú ý đến qua những công trình của anh em Bernouilli và Newton cùng Leibniz như đã nói ở trên. Ngoài tính chất cơ hữu mà anh em Bernouilli đã tìm ra, hình này có những tính chất đặc biệt như sau:

  • 1/ Chiều dài của mỗi vành cung vạch ra bằng bốn lần đường kính của bánh xe. Điều này thật là đặc biệt vì dẫu rằng liên hệ tới vòng tròn mà chiều dài của cycloid lại không phụ thuộc vào số Pi = 3.14159… là số dùng để tính diện tích và chu vi của hình tròn.
  • 2/ Diện tích của phần bao gồm bởi vành cung cycloid và đường thẳng để lăn vòng tròn bằng ba lần diện tích của vòng tròn.
  • 3/ Nếu lật ngược hình cycloid và coi như là tiết diện của một cái chậu, thì nếu ta thả một viên bi ở bất kỳ điểm nào trên vành cung, thời gian để viên bi lăn xuống điểm thấp nhất cũng bằng nhau.

Nhiều người đã gán cho hình cycloid cái tên là tiên nữ Helen của thành Troy. Giở lại truyện thần thoại Hy Lạp, Helen là con gái của Ngọc Hoàng Zeus và nữ thần Nemesis, lúc mới đầu sinh ra như cái trứng của thiên nga và được nữ hoàng Leda đưa về nuôi dưỡng khi trứng nở ra tiên nữ. Vì nàng tiên nữ quá đẹp, không biết bao nhiêu danh tài ngấp nghé nên cha nuôi là quốc vương Tyndareous đã bắt tất cả những người mơ tưởng Helen phải tuyên thệ sẽ bảo vệ cho nàng khi nàng đã lựa chọn người chồng. Nhưng sau này Menelaus là phu quân của Helen đã không giữ được an toàn cho vợ mà để hoàng tử Paris cướp mất đưa về thành Troy. Menelaus đã triệu tập tất cả các vương công Hy Lạp tới vây hãm thành Troy, gây chiến tranh gươm đao ngập trời cũng chỉ vì chuyện tranh cướp người đẹp.

Hình đẹp tuyệt vời là hình cycloid đối với các nhà toán học ở thế kỷ 17 cũng vậy. Đã có những bút chiến tranh chấp, dành phần ai đã là người đầu tiên tìm ra tính chất hay lạ của hình. Có cả những sự miệt thị nhau để dìm tài nhau. Ở vào một thế kỷ mà phương tiện ấn loát chưa được phổ thông và nhanh chóng, phương tiện thông tin chưa được hoàn mỹ như bây giờ, thì sự việc ai là người loan tải phát minh toán học trước nhất, ai là người sao lại bài của người khác rồi nhận là của mình, cũng khó lòng minh định được. Có một điều chắc chắn là những gì cần biết của hình cycloid đã được hoàn toàn phơi bầy trên nhiều trang sách. Nếu ai có muốn tìm thêm tính chất mới lạ cũng sẽ chỉ mất công dã tràng mà thôi.

Vốn dĩ, thiên nhiên luôn có cách thức vận động hết sức ảo diệu vẫn không hề thay đổi từ xưa đến nay, cũng như cách ánh sáng luôn tìm ra được con đường đi ngắn nhất. Con người chúng ta, trái lại, là những sinh vật luôn phải tìm tòi và khám phá trên con đường chinh phục và phát triển cuộc sống. Đã có rất nhiều bài học cho thấy đường thẳng, hóa ra, không phải lúc nào cũng là con đường hiệu quả nhất. Cũng như những con đường trực tiếp nhắm vào mục tiêu hiếm khi nào là lựa chọn của những kẻ muốn vượt qua những giới hạn thông thường. Một bài học nữa cho lối suy nghĩ đường vòng từ thiên nhiên, một bài học nữa cho tư duy “out of the box”.

📖

PHAM QUOC KHANH- GS NGUYEN XUAN VINH

- Advertisment -

Most Popular

Recent Comments